14330. Докажите, что отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой противоположной грани и содержащий центр описанной сферы, не меньше отрезка, соединяющего ту же вершину с центром окружности, описанной около противоположной грани.
Решение. Пусть O
— центр описанной сферы тетраэдра ABCD
, O_{1}
— центр описанной окружности треугольника ABC
, P
— точка пересечения прямой DO
с гранью ABC
. По условию точка O
лежит на отрезке DP
. Требуется доказать, что DP\geqslant DO_{1}
.
Если точки P
и O_{1}
совпадают, то DP=DO_{1}
.
Пусть точки P
и O_{1}
различны. Точка O
лежит на перпендикуляре, восставленном к плоскости ABC
из точки O_{1}
. Рассмотрим треугольник DPO_{1}
. Точка O
лежит на его стороне DP
, причём OO_{1}\perp O_{1}P
. Значит,
DO_{1}\lt DO+OO_{1}\lt DO+OP=DP.
Следовательно, DP\geqslant DO_{1}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — , № 9.8, с. 178