14331. Докажите, что для правильной четырёхугольной пирамиды верно неравенство R\geqslant r(1+\sqrt{2})
, где R
и r
— радиусы описанной и вписанной сфер соответственно.
Решение. Пусть сторона основания пирамиды равна a
, боковое ребро равно m
, апофема пирамиды равна l
, угол бокового ребра с плоскостью основания равен \alpha
, а периметр и площадь сечения пирамиды плоскостью проведённой через вершину и середины противоположных сторон основания, равны 2p
и S
соответственно. Тогда
h^{2}=l^{2}-a^{2},~m^{2}=l^{2}+a^{2},~\sin\alpha=\frac{h}{m}.
Значит,
R=\frac{m}{2\sin\alpha}=\frac{m}{\frac{2h}{m}}=\frac{m^{2}}{2h}=\frac{l^{2}+a^{2}}{2h},~r=\frac{S}{p}=\frac{ah}{l+a}.
Следовательно,
\frac{R}{r}=\frac{\frac{l^{2}+a^{2}}{2h}}{\frac{ah}{l+a}}=\frac{(l^{2}+a^{2})(l+a)}{2ah^{2}}=\frac{(l^{2}+a^{2})(a+l)}{2a(l^{2}-a^{2})}=\frac{l^{2}+a^{2}}{2a(l-a)}=\frac{1+t^{2}}{2t(1-t^{2})},
где t=\frac{a}{l}
.
Найдём наименьшее значение функции f(t)=\frac{1+t^{2}}{2t(1-t^{2})}
на промежутке 0\lt t\lt1
:
f'(t)=\frac{2t(t-t^{2})-(1-2t)(1+t^{2})}{2(t-t^{2})}=\frac{t^{2}+2t-1}{2(t-t^{2})};
t=\sqrt{2}-1
— единственная критическая точка функции на рассматриваемом промежутке, причём на промежутке 0\lt t\lt\sqrt{2}-1
производная f'(t)
отрицательна, а на промежутке \sqrt{2}-1\lt t\lt1
— положительна. Значит, наименьшее значение функции на рассматриваемом промежутке достигается в точке t=\sqrt{2}-1
и равно
f(1)=\frac{1+(\sqrt{2}-1)^{2})}{2(\sqrt{2}-1-(\sqrt{2}-1)^{2}}=\frac{4-2\sqrt{2}}{2(3\sqrt{2}-4)}=\sqrt{2}+1.
Тогда \frac{R}{r}\geqslant\sqrt{2}+1
. Следовательно, R\geqslant r(1+\sqrt{2})
. Что и требовалось доказать.