14348. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
через середину M
диагонали AC_{1}
проведена плоскость \alpha
перпендикулярно этой диагонали, AB=5
, BC=3
, AA_{1}=4
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
содержит точку D_{1}
.
б) Найдите отношение, в котором плоскость \alpha
делит ребро A_{1}B_{1}
.
Ответ. 9:16
.
Решение. а) Из прямоугольного треугольника ADD_{1}
находим, что
AD_{1}=\sqrt{AD^{2}+DD_{1}^{2}}=\sqrt{9+16}=5=C_{1}D_{1}.
Треугольник AC_{1}D_{1}
равнобедренный, поэтому его медиана DM
является высотой. Следовательно, точка D
лежит в плоскости, проходящей через точку D_{1}
перпендикулярно прямой AC_{1}
. Такая плоскость единственна, и это плоскость \alpha
.
б) Обозначим точку пересечения плоскости \alpha
и прямой A_{1}B_{1}
через L
. Поскольку плоскость \alpha
перпендикулярна прямой AC_{1}
, в треугольнике ALC_{1}
медиана LM
является высотой. Следовательно, AL=LC_{1}
.
Пусть AL=x
. Тогда LB_{1}=5-x
. Из прямоугольных треугольников AA_{1}L
и C_{1}B_{1}L
получаем
AL^{2}=AA_{1}^{2}+A_{1}L^{2}=16+x^{2},
C_{1}L^{2}=B_{1}C_{1}^{2}+LB_{1}^{2}=9+(5-x)^{2},
а так как AL=LC_{1}
, то
16+x^{2}=9+(5-x)^{2},
откуда x=\frac{9}{5}
. Тогда
A_{1}L=\frac{9}{5},~LB_{1}=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}.
Следовательно,
\frac{A_{1}L}{LB_{1}}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{16}{5}}=\frac{9}{16}.
Источник: ЕГЭ. — 2022, задача 13