14353. Найдите прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма с заданной суммой рёбер.
Ответ. Куб.
Решение. Пусть a
, b
и c
— измерения прямоугольного параллелепипеда, V
— его объём. Из условия следует, что величина s=a+b+c
постоянна. Тогда
V=abc\leqslant\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^{3}=\frac{s^{3}}{27},
причём равенство достигается только в случае, когда a=b=c
. Следовательно, этот параллелепипед — куб с ребром \frac{1}{3}s
.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — , с. 169