14354. В сферу радиуса R
вписана правильная четырёхугольная пирамида. Найдите наибольшую площадь её боковой поверхности.
Ответ. 4R^{2}
.
Решение. Пусть R
— радиус сферы, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
с вершиной P
, PO=h
— высота пирамиды, M
— середина ребра AB
, PM=l
— апофема пирамиды, AB=2x
— сторона основания, S
— площадь боковой поверхности. Тогда S=4lx
.
Пусть PP_{1}=2R
— диаметр сферы. Тогда треугольник PAP_{1}
прямоугольный, а AH
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
AH^{2}=PH\cdot HP_{1},~\mbox{или}~(x\sqrt{2})^{2}=h(2R-h),
откуда
x^{2}=\frac{h(2R-h)}{2},~l^{2}=HM^{2}+PH^{2}=x^{2}+h^{2}=\frac{h(2R-h)}{2}+h^{2}=\frac{h(2R+h)}{2}.
Следовательно,
S^{2}=16l^{2}x^{2}=16\cdot\frac{h(2R+h)}{2}\cdot\frac{h(2R-h)}{2}=4h^{2}(4R^{2}-h^{2})\leqslant
\leqslant4\cdot\left(\frac{h^{2}+(4R^{2}-h^{2})}{2}\right)^{2}=16R^{4},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда h^{2}=4R^{2}-h^{2}
, т. е. при h=R\sqrt{2}
. Поскольку площадь — величина положительная, она максимальна тогда и только тогда, когда её квадрат максимален.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — , с. 169