14355. Из всех конусов данного объёма V
найдите конус с минимальной образующей. Вычислите эту образующую.
Ответ. \sqrt[{3}]{{\frac{9V\sqrt{3}}{2\pi}}}
.
Решение. Пусть l
— образующая конуса, h
— его высота. Тогда
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h,~l^{2}=h^{2}+r^{2}.
Заметим, что из неравенства 3\sqrt[{3}]{{abc}}\leqslant a+b+c
следует, что при постоянном произведении abc
сумма a+b+c
минимальна, если все слагаемые равны. Значит, поскольку
V^{2}=\frac{1}{9}\pi^{2}r^{4}h^{2}=\frac{4}{9}\pi^{2}\cdot\frac{r^{2}}{2}\cdot\frac{r^{2}}{2}\cdot h^{2}
и V^{2}
постоянно, то сумма
\frac{r^{2}}{2}+\frac{r^{2}}{2}+h^{2}
минимальна, если \frac{r^{2}}{2}=h^{2}
. Тогда
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{2}{3}\pi r^{2}h^{3}.
Значит,
h^{3}=\frac{3V}{2\pi},~h=\sqrt[{3}]{{\frac{3V}{2\pi}}}.
Следовательно,
l_{\min}=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2h^{2}+h^{2}}=\sqrt{3}h=\sqrt{3}\sqrt[{3}]{{\frac{3V}{2\pi}}}=\sqrt[{3}]{{\frac{9V\sqrt{3}}{2\pi}}}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — , с. 170