14358. Правильная четырёхугольная пирамида вписана в сферу радиуса R
. Найдите высоту пирамиды с наибольшей площадью боковой поверхности.
Ответ. R\sqrt{2}
.
Решение. Пусть высота PH
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
равна h
, сторона основания пирамиды равна 2a
, боковое ребро равно b
, а апофема пирамиды равна l
.
Продолжим высоту PH
до пересечения с описанной сферой в точке P_{1}
. Тогда PP_{1}
— диаметр сферы, а треугольник PBP_{1}
прямоугольный. Отрезок BH
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
b^{2}=PB^{2}=PP_{1}\cdot PH=2Rh,
BH^{2}=PH\cdot HP_{1},~\mbox{или}~(a\sqrt{2})^{2}=h(2R-h),
откуда a^{2}=\frac{h(2R-h)}{2}
.
Пусть M
— середина ребра BC
. Из прямоугольного треугольника BMP
находим, что
l^{2}=PM^{2}=PB^{2}-BM^{2}=b^{2}-a^{2}=2Rh-\frac{h(2R-h)}{2}=\frac{h(2R+h)}{2}.
Пусть S
— площадь боковой поверхности пирамиды. Тогда
S^{2}=(4BM\cdot PM)^{2}=16a^{2}l^{2}=16\cdot\frac{h(2R-h)}{2}\cdot\frac{h(2R+h)}{2}=
=4h^{2}(2R-h)(2R+h)=4h^{2}(4R^{2}-h^{2})\leqslant4\cdot\left(\frac{h^{2}+(4R^{2}-h^{2})}{2}\right)^{2}=16R^{4},
причём равенство достигается в случае, когда h^{2}=4R^{2}-h^{2}
, т. е. при h=R\sqrt{2}
. Поскольку S\gt0
, наибольшее значение S
достигается также при h=R\sqrt{2}
.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — , № 9.27, с. 179