14362. Среди всех конусов, описанных около сферы радиуса r
, найдите конус наименьшего объёма. Вычислите этот объём.
Ответ. \frac{8\pi r^{3}}{3}
.
Решение. Пусть R
— радиус основания конуса, V
— объём, O
— центр основания конуса, SO=h
— высота конуса, I
— центр сферы. Сечение конуса и сферы плоскостью, проходящей через высоту конуса, — равнобедренный треугольник SAB
со сторонами
AB=2R,~SA=SB=\sqrt{R^{2}+h^{2}},
в который вписана окружность радиуса r
.
Пусть окружность касается стороны SA
в точке K
. Из подобия прямоугольных треугольников IKS
и AOS
получаем
\frac{IK}{IS}=\frac{OA}{SA},~\mbox{или}~\frac{r}{h-r}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+h^{2}}},
откуда после возведения в квадрат и очевидных упрощений находим, что
R^{2}=\frac{r^{2}h}{h-2r}.
Тогда
V{h}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{r^{2}h^{2}}{h-2r}.
С помощью производной найдём наименьшее значение функции V(h)
на промежутке h\gt4r
.
Имеем
V'(h)=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot\left(\frac{h^{2}}{h-2r}\right)'=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot\frac{h-4r}{(h-2r)^{2}}.
Условию h\gt2r
удовлетворяет единственный корень h=4r
уравнения V'(h)=0
. Для 2r\lt x\lt4r
производная отрицательна, а для h\gt4r
— положительна. Следовательно, наименьшее значение V(h)
на рассматриваемом промежутке равно
V(4r)=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{r^{2}\cdot16r^{2}}{4r-2r}=\frac{8\pi r^{3}}{3},
а высота такого конуса вдвое больше диаметра основания.