14363. Консервная банка данного объёма V
имеет форму цилиндра. При каком отношении её высоты к диаметру на её изготовление потребуется минимальное количество жести?
Ответ. 1:1
.
Решение. Пусть r
— радиус основания цилиндра, h
— высота, V
— объём, S
— площадь полной поверхности. Тогда
V=\pi r^{2}h,~h=\frac{V}{\pi r^{2}},
S=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi(r^{2}+rh)=2\pi\left(r^{2}+\frac{V}{\pi r}\right).
С помощью производной вычислим наибольшее значение функции S(h)=2\pi\left(r^{2}+\frac{V}{\pi r}\right)
на промежутке r\gt0
:
S'(x)=2\pi\left(2r-\frac{V}{\pi r^{2}}\right)=4\pi\left(r^{3}-\frac{V}{2\pi}\right),
тогда r=\sqrt[{3}]{{\frac{V}{2\pi}}}
— единственная критическая точка функции S(x)
на рассматриваемом промежутке, причём при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс; значит, в этой точке функция S(x)
достигает наибольшего значения на промежутке r\gt0
, и это значение равно S\left(\sqrt[{3}]{{\frac{V}{2\pi}}}\right)
.
При этом
h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{V}{\pi}\cdot\frac{1}{\left(\sqrt[{3}]{{\frac{V}{2\pi}}}\right)^{2}}=\frac{V\sqrt[{3}]{{4\pi^{2}}}}{\pi\sqrt[{3}]{{V^{2}}}}=\sqrt[{3}]{{\frac{4V}{\pi}}}=2\sqrt[{3}]{{\frac{V}{2\pi}}}=2r.
Следовательно, \frac{h}{2R}=1
.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — , № 9.25, с. 179