14365. Найдите размеры конической палатки (без дна), заданной вместимости, на изготовление которой требуется минимальной количество материала.
Ответ. \frac{h}{r}=\sqrt{2}
.
Решение. Требуется найти размеры конуса заданного объёма, имеющего наименьшую площадь боковой поверхности.
Пусть V
— заданный объём конуса, r
— радиус основания, h
— высота конуса, l
— образующая конуса, \alpha
— угол при основании осевого сечения, 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}
. Тогда
l=\frac{r}{\cos\alpha},~S=\pi rl=\frac{\pi r^{2}}{\cos\alpha},~h=r\tg\alpha,
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r^{3}\tg\alpha,~r^{3}=\frac{3V}{\pi\tg\alpha}.
Значит,
S^{3}=\left(\frac{\pi r^{2}}{\cos\alpha}\right)^{3}=\frac{\pi^{3}r^{6}}{\cos^{3}\alpha}=\frac{\pi^{3}}{\cos^{3}\alpha}\cdot\frac{9V^{2}}{\pi^{2}\tg^{2}\alpha}=
=9\pi V^{2}\cdot\frac{1}{\cos^{3}\alpha\left(\frac{1}{\cos^{2}\alpha}-1\right)}=\frac{9\pi V^{2}}{\cos\alpha-\cos^{3}\alpha}.
Обозначим \cos\alpha=t
. С помощью производной найдём наибольшее значение функции f(t)
на промежутке 0\lt t\lt1
. Поскольку f'(t)=1-3t^{2}
, единственная критическая точка функции на рассматриваемом промежутке — это t=\frac{1}{\sqrt{3}}
. При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус. Значит, в этой точке функция f(t)
достигает наибольшего значения. Тогда S^{3}
(а значит, и S
) достигает наименьшего значения при \alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}
.
Из равенства \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}
находим, что \tg\alpha=\sqrt{2}
. Следовательно,
\frac{h}{r}=\tg\alpha=\sqrt{2}.