14372. Нужно изготовить коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с площадью основания, равной 1. Сумма длин всех рёбер параллелепипеда должна быть равна 2. При каких размерах коробки площадь её поверхности будет наибольшей?
Ответ. 2, \frac{1}{2}
, \frac{5}{2}
.
Решение. Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны x
и y
, высота равна z
, а площадь его полной поверхности равна S
. Тогда
xy=1,~S=2(xy+xz+yz)=2(1+xz+yz),~x+y+z=5.
Обозначим x+y=t
. Тогда
z=5-(x+y)=5-t.
Следовательно,
S=2(1+xz+yz)=2+2z(x+y))=2+2z(5-z))=-2(z^{2}-5z-1)=
=-2\left(\left(z-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{29}{4}\right)=-2\left(z-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{29}{2}\leqslant\frac{29}{2},
причём равенство достигается при z=\frac{5}{2}
. Значит, наибольшее значение полной поверхности параллелепипеда равно \frac{29}{2}
и достигается при z=\frac{5}{2}
В этом случае
x+y=5-z=5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}.
Таким образом, имеем систему
\syst{x+y=\frac{5}{2}\\xy=1,\\}
из которой находим, что x=2
, y=\frac{1}{2}
или x=\frac{1}{2}
, y=2
.