14378. Шар касается всех боковых граней треугольной пирамиды SABC
в точках пересечения их биссектрис. Из вершины S
проведены биссектрисы SD
и SE
боковых граней SAB
и SAC
соответственно. Угол DSE
равен \alpha
, объём пирамиды равен V
. Докажите, что пирамида правильная. Найдите периметр основания.
Ответ. 3\sqrt[{3}]{{\frac{48V}{\sqrt{3\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}-1}}}}=3\sqrt[{3}]{{\frac{48V\sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}}}}
.
Решение. Пусть SABC
— данная пирамида, I_{1}
и I_{2}
— точки пересечения биссектрис граней SAB
и SAC
соответственно, AM
и AN
— биссектрисы этих граней.
Отрезки касательных, проведённых к шару из одной точки, равны, поэтому AI_{1}=AI_{2}
и SI_{1}=SI_{2}
. Значит, треугольники AI_{1}S
и AI_{2}S
равны по трём сторонам. Тогда
\angle ASB=\angle ASM=2\angle ASI_{1}=2\angle ASI_{2}=\angle ASN=\angle ASC,
\angle BAS=2\angle MAS=2\angle I_{1}AS=2\angle I_{2}AS=\angle CAS,
и треугольники SAB
и SAC
равны по двум стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому
AB=AC~\mbox{и}~SB=SC.
Аналогично,
AB=BC~\mbox{и}~SB=SA.
Таким образом, боковые рёбра пирамиды равны, а основание — равносторонний треугольник. Следовательно, пирамида правильная. Что и требовалось доказать.
Пусть SH=h
— высота пирамиды, AB=a
— сторона основания, K
— точка пересечения DE
и AH
. Поскольку SD
и SE
— биссектрисы равнобедренных треугольников ASB
и ASC
, точки D
и E
— середины сторон AB
и AC
равностороннего треугольника ABC
, DE
— средняя линия треугольника, K
— общая середина его высоты AP
и средней линии DE
, а
HK=AH-AK=AH-\frac{2}{3}AP-\frac{1}{2}AP=\frac{1}{6}AP=\frac{1}{6}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{12}.
Из прямоугольных треугольников DKS
и SHK
получаем
SK=DK\ctg\angle DKS=\frac{a}{4}\ctg\frac{\alpha}{2},
h=SH=\sqrt{SK^{2}-HK^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}{16}-\frac{a^{2}}{48}}=\frac{a}{4}\sqrt{\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{3}}=
=\frac{a\sqrt{3\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}-1}}{4\sqrt{3}},
а так как
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{a^{2}h\sqrt{3}}{12}=\frac{a^{3}\sqrt{3\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}-1}}{48},
то
a=\sqrt[{3}]{{\frac{48V}{\sqrt{3\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}-1}}}}.
Следовательно, периметр основания равен
3a=3\sqrt[{3}]{{\frac{48V}{\sqrt{3\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}-1}}}}=3\sqrt[{3}]{{\frac{48V\sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}}}}.