14380. В конус вписано два шара так, что:
1) шары касаются друг друга и каждый из них касается боковой поверхности конуса;
2) центры шаров лежат на оси конуса и нижний (больший) шар касается основания конуса.
Найдите объём конуса, если радиус меньшего шара равен a
, а радиус большего — b
.
Ответ. \frac{2\pi b^{5}}{3a(b-a)}
.
Решение. Рассмотрим сечение осевое сечение конуса и помещённых в него шаров — равнобедренный треугольник ASB
с вершиной S
, в котором расположены касающиеся круги радиусов a\lt b
так, что больший из них вписан в треугольник ASB
, а меньший касается боковых сторон.
Пусть больший круг с центром O_{2}
касается отрезка SA
в точке P
, меньший круг с центром O_{1}
касается отрезка SA
в точке Q
, а K
— точка касания кругов. Пусть общая касательная кругов, проведённая через их точку касания K
, пересекает стороны SA
и SB
в точках M
и N
соответственно. Тогда равнобедренные треугольники ASB
и MSN
(а значит, и соответствующие им конусы с общей вершиной S
) подобны с коэффициентом \frac{b}{a}
.
Опустим перпендикуляр O_{1}F
на радиус OP
большей окружности. Тогда (см. задачу 365)
O_{1}F=QP=2\sqrt{ab},
так как прямоугольные треугольники SQO_{1}
и O_{1}FO_{2}
подобны, то \frac{O_{1}Q}{SO_{1}}=\frac{O_{2}F}{O_{1}O_{2}}
, откуда
SO_{1}=\frac{O_{1}O_{2}\cdot O_{1}Q}{O_{2}F}=\frac{O_{1}O_{2}\cdot O_{1}Q}{O_{2}P-FP}=\frac{(a+b)\cdot a}{b-a}=\frac{a(a+b)}{b-a}.
Тогда
SK=SO_{1}+O_{1}K=\frac{a(a+b)}{b-a}+a=\frac{2ab}{b-a}.
Кроме того,
KM=MP=MQ=\frac{1}{2}PQ=\sqrt{ab}.
Пусть V_{1}
— объём конуса, отсекаемого от данного плоскостью, проходящей через точку K
касания шаров параллельно плоскости основания данного конуса объёма V
. Тогда из подобия
V=\left(\frac{b}{a}\right)^{3}V_{1}=\frac{b^{3}}{a^{3}}\cdot\frac{1}{3}\pi KM^{2}\cdot SK=\frac{b^{3}}{a^{3}}\cdot\frac{1}{3}\pi ab\cdot\frac{2ab}{b-a}=\frac{2\pi b^{5}}{3a(b-a)}.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1966, № 3, вариант 2
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3, с. 45, вариант 2