14390. Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и центр вписанного в неё шара проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды, если её боковое ребро в 3,5 раза больше стороны основания?
Ответ. 4:1
.
Решение. Пусть ABCD
— данная правильная пирамида с основанием ABC
, а секущая плоскость проведена через сторону AB
основания и центр O
вписанного в пирамиду шара. Точка O
лежит в биссекторной плоскости двугранного угла пирамиды при ребре AB
. Пусть эта плоскость пересекает боковое ребро DC
в точке E
. Сечение, о котором говорится в условии, — это равнобедренный треугольник APB
.
Каждая точка биссекторной плоскости двугранного угла равноудалена от его граней, поэтому высоты треугольных пирамид PABD
и PABC
, опущенные из общей вершины P
, равны. Значит, отношение объёмов этих пирамид равно отношению площадей оснований, а так как AB
— общая сторона этих оснований, то отношение их площадей равно отношению высот, опущенных на сторону AB
.
Пусть AB=a
, CD=\frac{3}{2}a
, а M
— середина ребра AB
. Поскольку DM
— высота равнобедренного треугольника ADB
, а CM
— высота равностороннего треугольника ABC
, то
DM=\sqrt{DA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}a^{2}-\frac{1}{4}a^{2}}=2a\sqrt{3},~CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Отношение объёмов пирамид PABD
и PABC
равно отношению отрезков DM
и CM
, т. е. \frac{2a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=4
.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1967, № 4, вариант 1
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1967, № 4, вариант 1
Источник: Вступительный экзамен на биолого-почвенный факультет МГУ. — 1967 (отделение почвоведения), № 4, вариант 1
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 4, с. 72, вариант 1