14391. Угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды SABC
с вершиной S
равен 60^{\circ}
. Через точку A
проведена плоскость, перпендикулярная биссектрисе угла S
треугольника BSC
. В каком отношении линия пересечения этой плоскости с плоскостью BSC
делит площадь грани BSC
?
Ответ. 100:69
.
Решение. Пусть O
— центр основания пирамиды, M
— середина ребра BC
, AH
— перпендикуляр к DM
. Через точку H
параллельно ребру BC
проведём прямую. Пусть она пересекает рёбра DB
и DC
в точках E
и F
соответственно. Тогда плоскость AEF
перпендикулярна биссектрисе DM
угла S
равнобедренного треугольника BDS
, так как прямая DM
перпендикулярна пересекающимся прямым AH
(по построению) и BC
(по теореме о трёх перпендикулярах). Таким образом, требуется вычислить отношение, в котором прямая EF
делит площадь треугольника BDC
.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью ADM
. Пусть OM=t
и OA=2t
. Отрезок OA
— ортогональная проекция бокового ребра на плоскость ABC
, поэтому \angle DAO=60^{\circ}
. Тогда
DA=2OA=4t,~DO=2t\sqrt{3},~DM=\sqrt{DO^{2}+OM^{2}}=\sqrt{12t^{2}+t^{2}}=t\sqrt{13}.
Обозначим DH=x
. Тогда MH=DM-DH=t\sqrt{13}-x
. По теореме Пифагора
AD^{2}-DH^{2}=BM^{2}-MH^{2},~\mbox{или}~16t^{2}-x^{2}=9t^{2}-(t\sqrt{13}-x)^{2},
откуда находим, что
DH=x=\frac{10t}{\sqrt{13}}.
Треугольник EDF
подобен треугольнику BDC
с коэффициентом
\frac{DH}{DM}=\frac{\frac{10t}{\sqrt{13}}}{t\sqrt{13}}=\frac{10}{13},
поэтому
\frac{S_{\triangle EDF}}{S_{\triangle BDC}}=\left(\frac{10}{13}\right)^{2}=\frac{100}{169}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle EDF}}{S_{BCFE}}=\frac{100}{169-100}=\frac{100}{69}.