14396. В правильной треугольной пирамиде SABC
с вершиной S
сторона основания равна a
, а плоские углы при вершине равны 30^{\circ}
. Через точку A
и середину ребра SB
проведена плоскость, которая делит пирамиду на две равные по объёму части. Найдите отрезки на которые эта плоскость делит высоту пирамиды.
Ответ. \frac{a}{3}\sqrt{15+9\sqrt{3}}
, \frac{a}{12}\sqrt{15+9\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть M
и K
— середины рёбер SB
и AB
соответственно, а SH
— высота пирамиды. Из прямоугольных треугольников BKS
и KHS
находим, что
SB=\frac{BK}{\sin\angle BSK}=\frac{a}{2\sin15^{\circ}}=\frac{a}{2\sin(45^{\circ}-30^{\circ})}=\frac{2a}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}=\frac{a\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2},
SH=\sqrt{SB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=
=a\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{3}}=a\sqrt{2+\sqrt{3}-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}a\sqrt{15+9\sqrt{3}}.
Если секущая плоскость проходит через точку C
, то она делит пирамиду на равные по объёму части, так как это пирамиды с равновеликими основаниями ABM
и ASM
и равными высотами, проведёнными из общей вершины C
. Если же секущая плоскость пересекает во внутренней точке одно из рёбер SC
или BC
в его внутренне точке, то объём одной части исходной пирамиды, являющейся треугольной пирамидой, меньше половины объёма исходной пирамиды, так как основание этой треугольной пирамиды — либо треугольник ABM
, либо равновеликий ему треугольник ASM
, а высота меньше высоты исходной пирамиды, опущенной на это основание.
Пусть N
— середина ребра AC
. Плоскости AMC
и BNS
пересекаются по прямой MN
, поэтому секущая плоскость AMC
пересекает высоту SH
в точке L
пересечения SH
и MN
. Рассмотрим сечение пирамиды SABC
плоскостью BNS
— треугольник BNS
с высотой SH
, делящей сторону BN
в отношении BH:HN=2:1
. Через точку H
параллельно медиане NM
проведём прямую, пересекающую SB
в точке F
. По теореме Фалеса BF:FM=BH:HN=2:1
, поэтому FM:MS=FM:MB=1:3
. Значит, HL:LS=FM:MS=1:3
. Следовательно,
HL=\frac{1}{4}SH=\frac{1}{12}a\sqrt{15+9\sqrt{3}},~LS=\frac{3}{4}SH=\frac{1}{4}a\sqrt{15+9\sqrt{3}}.