14400. Угол между двумя скрещивающимися прямыми равен 60^{\circ}
. Точка A
лежит на одной из них, точка B
— на другой, причём расстояния от каждой из этих точек до общего перпендикуляра скрещивающихся прямых одинаковы и равны расстоянию между прямыми. Найдите угол между общим перпендикуляром прямых и прямой AB
. Обратите внимание на возможность неоднозначного решения задачи.
Ответ. 45^{\circ}
или 60^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть CD
— общий перпендикуляр данных скрещивающихся прямых, причём точка C
лежит на той из них, которая проходит через точку A
, а точка B
— на другой, причём AC=BD=CD=a
. Рассмотрим треугольную призму ABCA_{1}DC_{1}
с основаниями ABC
, A_{1}DC_{1}
и боковыми рёбрами AA_{1}=CC_{1}=BD=a
. Четырёхугольник AA_{1}C_{1}C
— ромб, все стороны которого равны a
, а угол при вершине A
равен либо 60^{\circ}
, либо 120^{\circ}
. Обозначим искомый угол между прямыми CD
и AB
через \alpha
.
Рассмотрим первый из этих случаев. Тогда треугольник ACA_{1}
равносторонний, поэтому CA_{1}=a
. Прямая CD
перпендикулярна пересекающимся прямым AC
и CC_{1}
плоскости AA_{1}C
, поэтому DC
— перпендикуляр к этой плоскости. Тогда треугольник DCA_{1}
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, причём CD=a=CA_{1}
. Следовательно, \alpha=\angle CDA_{1}=45^{\circ}
.
Пусть теперь \angle CAA_{1}=120^{\circ}
. Тогда CA_{1}=a\sqrt{3}
. В прямоугольном треугольнике DCA_{1}
катет CA_{1}
в \sqrt{3}
раз больше катета CD
. Следовательно, \alpha=\angle CDA_{1}=60^{\circ}
.
Второй способ. Пусть CD
— общий перпендикуляр данных скрещивающихся прямых, причём точка C
лежит на той из них, которая проходит через точку A
, а точка B
— на другой. Выберем прямоугольную систему координат Cxyz
с началом в точке C
, направив ось Cx
по лучу CA
, ось Cy
— по лучу CD
, а ось Cz
— перпендикулярно плоскости ACD
в полупространство, содержащее точку B
. Положим AC=CD=DB=1
. Найдём координаты точек:
C(0;0;0),~A(1;0;0),~D(0;1;0),~B\left(\pm\frac{1}{2};1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
(знак абсциссы точки B
соответствует двум возможным случаям расположения точек). Найдём координаты векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{CD}
:
\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{1}{2};1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)~\mbox{или}~\left(-\frac{3}{2};1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right),~\overrightarrow{CD}=(0;1;0).
Пусть искомый угол между прямыми AB
и CD
равен \alpha_1
в первом случае и \alpha_2
во втором. Тогда
\cos\alpha_{1}=\left|\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CD}|}\right|=\frac{-\frac{1}{2}\cdot0+1\cdot1+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot0}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{3}{4}}\cdot\sqrt{0+1+0}}=\frac{1}{\sqrt{2}},
\cos\alpha_{2}=\left|\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CD}|}\right|=\frac{-\frac{3}{2}\cdot0+1\cdot1+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot0}{\sqrt{\frac{9}{4}+1+\frac{3}{4}}\cdot\sqrt{0+1+0}}=\frac{1}{2},
Следовательно, \alpha_1=45^{\circ}
, \alpha_2=60^\circ
.
