14402. Отрезок AB
находится на ребре двугранного угла, M
— точка на одной из граней, удалённая от ребра на расстояние l
. Перпендикуляр, опущенный из M
на другую грань, виден из точки A
под углом \alpha
, из B
— под углом \beta
, а расстояние от точки пересечения медиан треугольника ABM
до второй грани, равно m
. Найдите AB
. Обратите внимание на возможность неоднозначного решения задачи.
Ответ. \sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\alpha}-l^{2}}+\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\beta}-l^{2}}
, если ортогональная проекция N
точки M
на ребро двугранного угла лежит на отрезке AB
, и \left|\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\alpha}-l^{2}}\right|-\left|\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\beta}-l^{2}}\right|
, если точка N
лежит вне отрезка AB
.
Решение. Пусть P
и S
— грани данного двугранного угла, ребро которого — прямая AB
, G
— точка пересечения медиан треугольника AMB
, MH
и GK
— перпендикуляры плоскости грани S
, HN
— перпендикуляр к AB
, MN
— высота треугольника AMB
, \angle MAH=\alpha
и \angle MBH=\beta
, а так как медианы треугольника делятся точкой пересечения а отношении 2:1
, считая от вершины, то MH=3GK=3m
.
Из прямоугольных треугольников AHM
и BHM
находим, что
MA=\frac{MH}{\sin\angle MAH}=\frac{3m}{\sin\alpha},~MB=\frac{MH}{\sin\angle MBH}=\frac{3m}{\sin\beta}.
Тогда
AN=\sqrt{AM^{2}-MN^{2}}=\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\alpha}-l^{2}},
BN=\sqrt{BM^{2}-MN^{2}}=\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\beta}-l^{2}}.
Если точка N
лежит на отрезке AB
, то
AB=AN+BN=\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\alpha}-l^{2}}+\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\beta}-l^{2}}.
Если точка N
лежит вне отрезка AB
, то либо
AB=AN-BN=\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\alpha}-l^{2}}-\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\beta}-l^{2}},
либо
AB=BN-ANN=\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\beta}-l^{2}}-\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\alpha}-l^{2}},
т. е.
AB=\left|\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\alpha}-l^{2}}-\sqrt{\frac{9m^{2}}{\sin^{2}\beta}-l^{2}}\right|.