14411. Основание прямой призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с катетами AB=BC=1
. Через середины рёбер AB
и BC
и точку P
, лежащую на продолжении ребра B_{1}B
за точку B
проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения, если BP=\frac{1}{2}
и B_{1}B=1
.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}}{8}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и BC
соответственно, прямые PM
и AA_{1}
, лежащие в плоскости ABB_{1}
, пересекаются в точке D
, а прямые PN
и CC_{1}
, лежащие в плоскости BCB_{1}
, — в точке E
. Секущая плоскость и плоскость ACA_{1}
проходят через параллельные прямые MN
(отрезок MN
— средняя линия треугольника ABC
) и DE
соответственно, поэтому прямая DE
их пересечения параллельна MN
. Тогда сечение DENM
— трапеция с основаниями DE
и MN
.
Из равенства треугольников DAM
и PBM
получаем, что AD=BP=\frac{1}{2}
, причём
MN=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Тогда
DM=\sqrt{AM^{2}+AD^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Аналогично, EN=\frac{\sqrt{2}}{2}
, поэтому трапеция DENM
— равнобедренная, причём
DE=AC=\sqrt{2},~MN=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Пусть F
— середина DE
. Тогда треугольник DFM
равносторонний со стороной \frac{\sqrt{2}}{2}
. Его высота MH
(она же высота трапеции) равна
\frac{AM\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Следовательно,
S_{DENM}=\frac{1}{2}(DE+MN)\cdot MH=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1968, № 3, вариант 3
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3, с. 350, вариант 3