14416. Основание прямой призмы — равносторонний треугольник. Плоскость, проведённая через одну из сторон основания под углом \alpha
к основанию, отсекает от призмы треугольную пирамиду с объёмом v
. Найдите площадь сечения.
Ответ. \frac{\sqrt{3}\sqrt[{3}]{{v^{2}\ctg^{2}\alpha}}}{\cos\alpha}
.
Решение. Пусть ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— данная правильная призма, секущая плоскость проходит через ребро AB
и пересекает боковое ребро CC_{1}
в точке D
, а H
— середина ребра AB
. Тогда \angle CHD=\alpha
. Обозначим CH=h
. Тогда из прямоугольных треугольников AHC
и DCH
получаем
AB=2AH=2CH\ctg\angle CAH=2h\ctg30^{\circ}=\frac{2h}{\sqrt{3}},
DH=\frac{CH}{\cos\angle CHD}=\frac{h}{\cos\alpha}.
Пусть S
— площадь равностороннего треугольника ABC
, S'
— искомая площадь сечения. Тогда
v=V_{DABC}=\frac{1}{3}S\cdot DC=\frac{1}{3}\cdot\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot CH\tg\alpha=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{\left(\frac{2h}{\sqrt{3}}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h\tg\alpha=\frac{h^{3}\tg\alpha}{\sqrt{27}},
откуда
h^{3}=\sqrt{27}v\ctg\alpha,~h=\sqrt{3}\sqrt[{3}]{{v\ctg\alpha}}.
Следовательно,
S'=S_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}AB\cdot DH=\frac{1}{2}\cdot\frac{2h}{\sqrt{3}}\cdot\frac{h}{\cos\alpha}=\frac{h^{2}}{\sqrt{3}\cos\alpha}=
=\frac{3\sqrt[{3}]{{v^{2}\ctg^{2}\alpha}}}{\sqrt{3}\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}\sqrt[{3}]{{v^{2}\ctg^{2}\alpha}}}{\cos\alpha}.