14417. Полная поверхность конуса равна \pi S
. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор с углом 60^{\circ}
. Найдите объём конуса
Ответ. \frac{\pi S\sqrt{5S}}{21}
.
Решение. Пусть R
— радиус основания конуса, l
— образующая. Тогда полная поверхность конуса равна \pi Rl+\pi R^{2}=\pi S
, а длина окружности основания конуса равна 2\pi R=\frac{1}{6}\cdot2\pi l
. Значит, получаем систему
\syst{Rl+R^{2}=S\\l=6R,\\}
из которой находим, что
R=\sqrt{\frac{S}{7}},~l=6R=6\sqrt{\frac{S}{7}}.
Пусть h
— высота конуса, V
— его объём. Из осевого сечения конуса находим, что
h=\sqrt{l^{2}-R^{2}}=\sqrt{36R^{2}-R^{2}}=R\sqrt{35}.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi R^{3}\sqrt{35}=\frac{1}{3}\pi\left(\sqrt{\frac{S}{7}}\right)^{3}=\frac{\pi S\sqrt{5S}}{21}.