14418. Радиус основания конуса равен R
. Две взаимно перпендикулярные образующие делят площадь боковой поверхности конуса на части в отношении 1:2
. Найдите объём конуса.
Ответ. \frac{\pi R^{3}\sqrt{2}}{6}
.
Решение. Пусть V
— объём конуса, SO=h
— высота конуса, SA=SB=l
— перпендикулярные образующие. Из равнобедренного прямоугольного треугольника ASB
получаем AB=l\sqrt{2}
, а длина меньшей дуги AB
окружности основания конуса равна трети длины всей окружности. Значит, отрезок AB
виден из центра окружности под углом 120^{\circ}
, поэтому AB=R\sqrt{3}
. Из равенства l\sqrt{2}=R\sqrt{3}
получаем, что l=R\sqrt{\frac{3}{2}}
.
По теореме Пифагора
h=SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{l^{2}-R^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}R^{2}-R^{2}}=\frac{R\sqrt{2}}{2}.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi R^{2}\cdot\frac{R\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi R^{3}\sqrt{2}}{6}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.190, с. 204