14419. Боковые грани треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, а их площади равны a^{2}
, b^{2}
и c^{2}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{abc\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Если каждая из двух пересекающихся плоскостей перпендикулярна третьей плоскости, то прямая пересечения первых двух плоскостей перпендикулярна третьей плоскости (см. задачу 9104), поэтому боковые рёбра данной пирамиды попарно перпендикулярны (прямоугольный тетраэдр). Пусть объём пирамиды равен V
, а боковые рёбра, не лежащие в гранях с площадями a^{2}
, b^{2}
и c^{2}
, равны x
, y
и z
соответственно. Тогда
\syst{a^{2}=\frac{1}{2}yz\\b^{2}=\frac{1}{2}zx\\c^{2}=\frac{1}{2}xy.\\}
Перемножим первые два уравнения системы, а результат разделим на третье. Получим
\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{2}z^{2}~\Leftrightarrow~z=\frac{ab\sqrt{2}}{c}.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}c^{2}\cdot z=\frac{1}{3}c^{2}\cdot\frac{ab\sqrt{2}}{c}=\frac{abc\sqrt{2}}{3}.