14425. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник, равные стороны которого равны a
, а угол при основании равен \alpha
. Найдите объём призмы, если её боковая поверхность равна сумме площадей оснований.
Ответ. \frac{a^{3}\tg\alpha\tg\frac{\alpha}{2}}{8}
.
Решение. Пусть ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— данная прямая призма. Её основания —равнобедренные треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, причём AB=AC
и \angle ABC=\alpha
.
Обозначим AA_{1}=h
. Проведём медиану AM
треугольника ABC
. Тогда AM
— высота треугольника. Из прямоугольного треугольника AMB
получаем
AM=BM\tg\alpha=\frac{a}{2}\tg\alpha~AB=\frac{BM}{\cos\alpha}=\frac{a}{2\cos\alpha}.
Тогда боковая поверхность призмы равна
2S_{AA_{1}B_{1}B}+S_{BB_{1}C_{1}C}=2AB\cdot AA_{1}+BC\cdot AA_{1}=2\cdot\frac{a}{2\cos\alpha}\cdot h+ah=
=h\left(1+\frac{1}{\cos\alpha}\right)=\frac{h(1+\cos\alpha)}{\cos\alpha}=\frac{2h\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha},
а сумма площадей оснований —
2S_{\triangle ABC}=2\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AM=a\cdot\frac{a}{2}\tg\alpha=\frac{a^{2}\tg\alpha}{2}.
По условию
\frac{2h\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}=\frac{a^{2}\tg\alpha}{2},
откуда
h=\frac{a\tg\alpha\cos\alpha}{4\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{a\sin\alpha}{4\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2a\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{4\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{a\tg\frac{\alpha}{2}}{2}.
Следовательно, объём призмы равен
S_{\triangle ABC}\cdot AA_{1}=\frac{a^{2}\tg\alpha}{4}\cdot h=\frac{a^{2}\tg\alpha}{4}\cdot\frac{a\tg\frac{\alpha}{2}}{2}=\frac{a^{3}\tg\alpha\tg\frac{\alpha}{2}}{8}.