14426. Основание пирамиды — ромб с острым углом \alpha
. Найдите объём пирамиды, если её боковые грани образуют с основанием один и тот же двугранный угол \beta
, а радиус вписанного в неё шара равен r
.
Ответ. \frac{4r^{3}\tg\beta}{3\sin\alpha\tg^{3}\frac{\beta}{2}}
.
Решение. Пусть SH
— высота данной пирамиды SABCD
, основание которой — ромб ABCD
с острым углом BAD
, равным \alpha
, HP
— перпендикуляр AD
.
Основание пирамиды — ромб, а двугранные углы при сторонах основания равны, значит, высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание, т. е. через центр ромба, центр O
вписанного в ромб шара лежит на высоте SH
пирамиды, а OH=r
— радиус шара.
По теореме о трёх перпендикулярах SK\perp AD
, поэтому SKH
— линейный угол двугранного угла при ребре AD
пирамиды. По условию \angle SPH=\beta
. Значит, HP=SH\ctg\alpha
.
Опустим перпендикуляр BK
на сторону AD
ромба. Тогда HP
— средняя линия треугольника BKP
, BK=2HP
. Из прямоугольного треугольника AKB
находим, что
AD=\frac{BK}{\sin\alpha}=\frac{2HP}{\sin\alpha}.
Тогда, если S
— площадь ромба, то
S=AD\cdot BK=\frac{2HP}{\sin\alpha}\cdot2HP=\frac{4HP^{2}}{\sin\alpha}.
Центр шара, вписанного в двугранный угол, лежит в биссекторной плоскости этого угла, значит, KO
— биссектриса угла SKH
,
HP=OH\ctg\angle OKH=r\ctg\frac{\beta}{2}.
Тогда
S=\frac{4HP^{2}}{\sin\alpha}=\frac{4r^{2}\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha},~SH=HP\tg\angle SPH=r\ctg\frac{\beta}{2}\tg\beta.
Следовательно,
V_{SABCD}=\frac{1}{3}S\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot\frac{4r^{2}\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}\cdot r\ctg\frac{\beta}{2}\tg\beta=\frac{4r^{3}\tg\beta}{3\sin\alpha\tg^{3}\frac{\beta}{2}}.