14428. В правильной треугольной пирамиде с углом \alpha
между боковым ребром и стороной основания проведено сечение через середину бокового ребра параллельно боковой грани. Зная площадь S
сечения, найдите объём пирамиды
Ответ. \frac{8}{3}S\sqrt{S\ctg\alpha(3-\ctg^{2}\alpha)}
.
Решение. Пусть сторона основания ABC
данной правильной пирамиды ABCD
равна a
, L
— середина бокового ребра DC
, точки M
, N
и K
— середины рёбер BC
, AC
и AB
соответственно, H
— центр основания пирамиды. Тогда DH
— её высота.
Пусть медиана CK
и средняя линия MN
треугольника ABC
пересекаются в точке P
. Тогда MN\parallel AB
, а LP\parallel DK
как средняя линия треугольника CKD
. По признаку параллельности плоскостей плоскость LMN
параллельна боковой грани ADB
, значит, сечение, о котором говорится в условии, — равнобедренный треугольник LMN
с основанием MN=\frac{a}{2}
и высотой
LP=\frac{1}{2}DK=\frac{1}{2}\cdot BK\tg\angle ABD=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\tg\alpha=\frac{a\tg\alpha}{4}.
Значит,
S=S_{\triangle LMN}=\frac{1}{2}MN\cdot LP=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a\tg\alpha}{4}=\frac{a^{2}\tg\alpha}{16},
откуда
a^{2}=16S\ctg\alpha,~a=4\sqrt{S\ctg\alpha}.
Из прямоугольного треугольника DHK
получаем
DH=\sqrt{DK^{2}-HK^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\tg\alpha}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{3\tg^{2}\alpha-1}}{2\sqrt{3}}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3\tg^{2}\alpha-1}}{2\sqrt{3}}=
=\frac{1}{24}a^{3}\sqrt{3\tg^{2}\alpha-1}=\frac{1}{24}(4\sqrt{S\ctg\alpha})^{3}\cdot\sqrt{3\tg^{2}\alpha-1}=
=\frac{8}{3}S\sqrt{S\ctg\alpha(3-\ctg^{2}\alpha)}.