14429. Из центра O
основания конуса опущен перпендикуляр OM
на образующую. Найдите угол между образующей конуса и его осью, если плоскость, проходящая через точку M
параллельно основанию конуса, делит его объём пополам.
Ответ. \arccos\frac{1}{\sqrt[{6}]{{2}}}
.
Решение. Пусть равнобедренный треугольник ASB
с основанием AB
— осевое сечение данного конуса с вершиной S
. Обозначим через \alpha
искомый угол, т. е. \angle ASO=\alpha
.
По условию задачи, плоскость, проходящая через точку M
параллельно основанию конуса, делит объём данного конуса пополам, т. е. отсекает от него конус, объём которого равен половине объёма данного конуса. Значит, отсечённый конус подобен данному с коэффициентом \sqrt[{3}]{{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt[{3}]{{2}}}
.
В прямоугольном треугольнике AOS
высота OM
, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу SA
на отрезки, пропорциональные квадратам катетов (см. задачу 1946), а так как
\frac{AM}{SM}=\frac{SA-SM}{SM}=\frac{SA}{SM}-1=\sqrt[{3}]{{2}}-1,~\mbox{а}~\frac{OA^{2}}{SO^{2}}=\left(\frac{OA}{SO}\right)^{2}=\tg^{2}\alpha,
то
\tg^{2}\alpha=\sqrt[{3}]{{2}}-1,\mbox{или}~1+\tg^{2}\alpha=\sqrt[{3}]{{2}},
откуда
\frac{1}{\cos^{2}\alpha}=1+\tg^{2}\alpha=\sqrt[{3}]{{2}}.
Следовательно,
\cos^{2}\alpha=\frac{1}{\sqrt[{3}]{{2}}},~\alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt[{6}]{{2}}}.