14431. Перпендикуляр, опущенный из центра основания конуса на образующую, вращается вокруг оси конуса. Найдите угол между образующей конуса и его осью, если поверхность вращения делит объём конуса пополам.
Ответ. \arccos\frac{1}{\sqrt[{4}]{{2}}}
.
Решение. Пусть точка M
лежит на образующей SA
данного конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через точку M
, т. е. равнобедренный треугольник ASB
с основанием AB
и вершиной S
. Обозначим через \alpha
искомый угол, т. е. \angle ASO=\alpha
.
Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно AB
, пересекает высоту SO
в точке H
, а сторону SB
— в точке N
. Обозначим радиус основания данного конуса через R
, а радиус основания конуса, отсекаемого от данного плоскостью, проходящей через точку M
параллельно основанию данного конуса, — через r
.
Из условия задачи следует, что сумма объёмов конуса с вершиной S
и основанием с диаметром MN
и конуса с вершиной O
с тем же основанием равна половине объёма данного конуса, т. е.
\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot SH=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot OH=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot(SH+OH)r^{2}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot SO=\frac{1}{2}\pi R^{2}\cdot OH,
откуда \frac{r}{R}=\frac{1}{\sqrt{2}}
.
С другой стороны,
\angle AOM=\angle OMH=\angle MSH=\alpha,
и из прямоугольных треугольников OMH
и AOM
получаем
OM=\frac{MH}{\cos\alpha}=\frac{r}{\cos\alpha},~OM=OA\cos\alpha=R\cos\alpha.
Из равенства \frac{r}{\cos\alpha}=R\cos\alpha
находим, что
\cos^{2}\alpha=\frac{r}{R}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, \alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt[{4}]{{2}}}
.