14432. При вращении кругового сектора около одного из крайних радиусов получилась фигура, площадь сферической поверхности которой равна равна площади конической поверхности. Найдите синус центрального угла кругового сектора.
Ответ. \frac{4}{5}
.
Решение. Пусть O
— центр шара радиуса R
, часть которого есть данная фигура вращения, т. е. шаровой сектор. Рассмотрим осевое сечение этого шарового сектора — круговой сектор с центром O
и дугой AB
. Пусть радиус OC
, перпендикулярный хорде AB
, пересекает её в точке M
. Тогда CM=h
— высота шарового сегмента, соответствующего данному шаровому сектору, а \angle AOC=\alpha
— искомый центральный угол исходного кругового сектора.
Пусть S_{1}
— площадь шарового сегмента S_{2}
— площадь конической поверхности шарового сектора. Тогда
S_{1}=2\pi Rh=2\pi OC(OC-OM)=2\pi R(R-R\cos\alpha)=
=2\pi R^{2}(1-\cos\alpha)=4\pi R^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2},
а так как MA
— радиус основания конической поверхности шарового сегмента, то
MA=OA\sin\angle AOM=R\sin\alpha=2R\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2},
поэтому
S_{2}=\pi R\cdot MA=2\pi R^{2}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}.
По условию задачи S_{1}=S_{2}
, т. е.
4\pi R^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=2\pi R^{2}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2},
а так как \sin\frac{\alpha}{2}
и \cos\frac{\alpha}{2}
отличны от 0, то отсюда получаем, что \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}
. Следовательно,
\sin\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.219, с. 228