14436. В шар радиуса R
вписан конус; в конус вписан цилиндр с квадратным осевым сечением. Найдите полную поверхность цилиндра, если угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен \alpha
.
Ответ. \frac{6\pi R^{2}\sin^{2}2\alpha}{(1+2\ctg\alpha)^{2}}
.
Решение. Пусть радиусы оснований конуса и цилиндра равны r
и x
соответственно. Рассмотрим плоскость осевого сечения конуса и цилиндра — равнобедренный треугольник ABC
, который вписан в окружность радиуса R
, и в который вписан квадрат KLMN
со стороной 2x
, причём точки K
и L
лежат на отрезке AB
, K
между A
и L
. Пусть O
— середина отрезка AB
, т. е. центр основания конуса.
По теореме синусов
2r=AB=2R\sin\angle ACB=2R\sin(180^{\circ}-2\alpha)=2R\sin2\alpha.
Из прямоугольного треугольника AKN
получаем
AK=KN\ctg\angle KAN=KL\ctg\alpha=2x\ctg\alpha,
а так как
r=OA=OK+AK=x+2x\ctg2\alpha=x(1+2\ctg\alpha),
то
x=\frac{r}{1+2\ctg\alpha}=\frac{R\sin2\alpha}{1+2\ctg\alpha}.
Полная поверхность S
цилиндра равна сумме боковой поверхности и двух площадей оснований, т. е.
S=2\pi x\cdot2x+2\pi x^{2}=6\pi x^{2}=6\pi\cdot\left(\frac{R\sin2\alpha}{1+2\ctg\alpha}\right)^{2}=\frac{6\pi R^{2}\sin^{2}2\alpha}{(1+2\ctg\alpha)^{2}}.