14437. Около шара описана прямая призма, основание которой — ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол \alpha
. Найдите острый угол ромба.
Ответ. 2\arcsin(\tg\alpha)
.
Решение. Пусть радиус шара равен R
. Тогда боковое ребро AA_{1}
призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно 2R
. Пусть угол \varphi
при вершине A
ромба ABCD
— наименьший угол ромба. Тогда наибольшая диагональ призмы — это диагональ AC_{1}
. Отрезок C_{1}C
— перпендикуляр к плоскости ABC
, поэтому угол наклонной C_{1}C
с плоскостью ABC
— это угол CAC_{1}
. По условию \angle CAC_{1}=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника ACC_{1}
находим, что
AC=CC_{1}\ctg\angle CAC_{1}=2R\ctg\alpha.
Ортогональная проекция призмы и шара на плоскость ABC
— ромб ABCD
и вписанная в него окружность радиуса R
. Пусть O
— центр окружности (точка пересечения диагоналей ромба), а P
— точка касания окружности со стороной AB
ромба. Тогда
\sin\frac{\varphi}{2}=\frac{OP}{AO}=\frac{AP}{\frac{1}{2}AC}=\frac{R}{R\ctg\alpha}=\tg\alpha.
Следовательно, \varphi=2\arcsin(\tg\alpha)
.