14439. Косинус угла между боковыми рёбрами правильной четырёхугольной пирамиды, не лежащими в одной грани, равен k
. Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.
Ответ. \frac{1+k}{2}
.
Решение. Пусть угол между боковыми рёбрами SA
и SC
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
равен \alpha
. Обозначим сторону основания пирамиды через a
, боковое ребро — l
, а искомый угол при вершине S
— \beta
.
По теореме косинусов из треугольника ASC
получим
k=\cos\alpha=\cos\angle ASC=\frac{SA^{2}+SC^{2}-AC^{2}}{2SA\cdot SC}=\frac{2l^{2}-2a^{2}}{2l^{2}}=1-\frac{a^{2}}{l^{2}},
откуда \frac{a^{2}}{l^{2}}=1-k
.
По теореме косинусов из треугольника ASB
находим
\cos\beta=\cos\angle ASB=\frac{SA^{2}+SB^{2}-AB^{2}}{2SA\cdot SB}=\frac{2l^{2}-a^{2}}{2l^{2}}=
=1-\frac{a^{2}}{2l^{2}}=1-\frac{1-k}{2}=\frac{1+k}{2}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.291, с. 234