1444. AB
— диаметр окружности, AC
и BD
— параллельные хорды этой окружности. Докажите, что AC=BD
и CD
— также диаметр окружности.
Указание. Пусть O
— центр окружности. Тогда равнобедренные треугольники AOC
и BOD
равны.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр окружности. Тогда треугольники AOC
и BOD
равны (равнобедренные треугольники с соответственно равными боковыми сторонами и углами при основаниях). Поэтому AC=BD
и \angle AOC=\angle BOD
. Следовательно, прямая BC
проходит через точку O
.
Второй способ. Поскольку AB
— диаметр, то
\angle ACB=\angle ADB=90^{\circ}.
Кроме того, поскольку AC\parallel BD
, то
\angle CAB=\angle ABD,
значит, прямоугольные треугольники ACB
и BDA
равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому AC=BD
, а так как
\angle CAD=\angle CAB+\angle BAD=\angle CAB+\angle ABC=90^{\circ}.
то CD
— диаметр окружности.