14442. Через диагональ основания и высоту правильной четырёхугольной пирамиды проведена плоскость. Отношение площади сечения к боковой поверхности пирамиды равно k
. Найдите косинус угла между апофемами пирамиды, лежащими в противоположных боковых гранях.
Ответ. 16k^{2}-1
.
Решение. Пусть угол между апофемами SM
и SN
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
с вершиной P
равен \alpha
. Обозначим сторону основания пирамиды через a
, апофему — m
, площадь сечения — s
, боковую поверхность — S
, а искомый угол между апофемами SM
и SN
— \beta
.
Пусть O
— центр основания пирамиды. Тогда
s=S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}AC\cdot PO=\frac{1}{2}AC\sqrt{PM^{2}-OM^{2}}=
=\frac{\sqrt{2}}{2}a\sqrt{m^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{4}a\sqrt{4m^{2}-a^{2}},
а так как
S=4S_{\triangle APB}=4\cdot\frac{1}{2}am=2am,
то
k^{2}=\frac{s^{2}}{S^{2}}=\frac{\frac{1}{8}(4m^{2}-a^{2})}{4a^{2}m^{2}}=\frac{1}{32}\left(4-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right),
откуда
\frac{a^{2}}{m^{2}}=4-32k^{2}.
По теореме косинусов из треугольника MPN
находим, что
\cos\beta=\cos\angle MPN=\frac{m^{2}+m^{2}-a^{2}}{2m\cdot m}=\frac{2m^{2}-a^{2}}{2m^{2}}=
=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{2}}{m^{2}}=1-\frac{1}{2}(4-32k^{2})=16k^{2}-1.