14444. Основания усечённой пирамиды — правильные треугольники. Прямая, проходящая через середины одной стороны верхнего основания и середину параллельной ей стороны нижнего основания, перпендикулярна плоскостям оснований. Большее боковое ребро равно l
и образует с плоскостью основания угол \alpha
. Найдите расстояние между центрами оснований.
Ответ. \frac{l}{3}\sqrt{9\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{l}{3}\sqrt{5-4\cos2\alpha}
.
Решение. Пусть стороны оснований ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
данной усечённой пирамиды равны a
и b
соответственно (a\gt b
), O
и O_{1}
— центры правильных треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, соответственно, M
и M_{1}
— середины параллельных рёбер AB
и A_{1}B_{1}
соответственно, а прямая MM_{1}
перпендикулярна плоскостям оснований. Тогда AA_{1}B_{1}B
— равнобедренная трапеция.
Докажем, что CC_{1}
— наибольшее боковое ребро пирамиды. Действительно, пусть C_{1}N
— перпендикуляр к CN
, а прямая, проведённая через вершину C_{1}
параллельно BB_{1}
, пересекает ребро BC
в точке P
. Тогда C_{1}N
— перпендикуляр к плоскости ABC
и C_{1}N\parallel MM_{1}
, а так как CM\perp AB
и CM\perp MM_{1}
, то CM\perp BB_{1}
. Значит, CM\perp NP
. Тогда CN=NP\sqrt{3}\gt NP
. Из точки C_{1}
проведены перпендикуляр CN
к плоскости ABC
и наклонные C_{1}C
и C_{1}P
, причём ортогональная проекция CN
наклонной C_{1}C
больше ортогональной проекции NP
наклонной C_{1}P
. Следовательно, C_{1}C\gt C_{1}P=BB_{1}=AA_{1}
. Что и требовалось доказать.
Таким образом, по условию CC_{1}=l
, а \angle MCC_{1}=\alpha
. Тогда
M_{1}M=C_{1}N=C_{1}C\sin\alpha=l\sin\alpha.
Пусть O_{1}L
— перпендикуляр к CM
. Тогда
OL=OM-LM=OM-O_{1}M_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{6}-\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{6},
а так как
l\cos\alpha=CN=CM-NM=CM-C_{1}M_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{2},
то
OL=\frac{1}{3}CN=\frac{1}{3}l\cos\alpha.
Следовательно,
OO_{1}=\sqrt{O_{1}L^{2}+OL^{2}}=\sqrt{MM_{1}^{2}+OL^{2}}=\sqrt{l^{2}\sin^{2}\alpha+\frac{1}{9}l^{2}\cos^{2}\alpha}=
=\frac{l}{3}\sqrt{9\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{l}{3}\sqrt{5-4\cos2\alpha}.