14445. Два конуса имеют концентрические основания и один и тот же угол \alpha
между высотой и образующей. Радиус основания внешнего конуса равен R
. Боковая поверхность внутреннего конуса вдвое меньше полной поверхности внешнего. Найдите объём внутреннего конуса.
Ответ. \frac{1}{3}\pi R^{3}\cos^{3}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)\ctg\alpha
.
Решение. Пусть O
— общий центр окружностей оснований конусов; R
и l
— соответственно радиус основания и образующая внешнего конуса; R_{1}
, l_{1}
и h_{1}
— соответственно радиус основания, образующая и высота внутреннего конуса. Проведём плоскость через вершину S
внешнего конуса и диаметр AB
его основания. В сечении получим два подобных треугольника ASB
и A_{1}S_{1}B_{1}
, где S_{1}
и A_{1}B_{1}
— соответственно вершина и диаметр основания внутреннего конуса, V_{1}
— его искомый объём, а \angle ASO=\angle A_{1}S_{1}O=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника AOS
получаем
l=SA=\frac{OA}{\sin\angle ASO}=\frac{R}{\sin\alpha}.
Аналогично, l_{1}=\frac{R_{1}}{\sin\alpha}
. Кроме того, h_{1}=R_{1}\ctg\alpha
.
По условию
\pi R_{1}\cdot\frac{R_{1}}{\sin\alpha}=\pi R_{1}l_{1}=\frac{1}{2}(\pi Rl+\pi R^{2})=\frac{1}{2}\pi R(l+R)=\frac{1}{2}\pi R\left(\frac{R}{\sin\alpha}+R\right)=
=\frac{1}{2}\pi R^{2}\left(\frac{1}{\sin\alpha}+1\right)=\frac{\pi R^{2}(1+\sin\alpha)}{2\sin\alpha}=\frac{\pi R^{2}(1+\cos(90^{\circ}-\alpha))}{2\sin\alpha}=
=\frac{2\pi R^{2}\cos^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\alpha}=\frac{\pi R^{2}\cos^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\alpha},
откуда
R_{1}^{2}=R^{2}\cos^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)~\Rightarrow~R_{1}=R\cos\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right).
Следовательно,
V_{1}=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}h_{1}=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}\cdot R_{1}\ctg\alpha=\frac{1}{3}\pi_{1}R_{1}^{3}\ctg\alpha=
=\frac{1}{3}\pi R^{3}\cos^{3}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)\ctg\alpha.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.230, с. 229