14450. В конус вписан шар. Окружность касания шаровой и конической поверхностей делит поверхность шара в отношении 1:4
. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.
Ответ. \arccos\frac{3}{5}
.
Решение. Рассмотрим сечение конуса и шара плоскостью осевого сечения — равнобедренный треугольник ASB
с вершиной S
и вписанный в него круг радиуса r
с центром O
. Пусть SH
— высота треугольника ASC
, P
и Q
— точки касания вписанного круга со сторонами SA
и SB
соответственно, D
— точка пересечения отрезков PQ
и SH
, E
— точка пересечения отрезка SD
с вписанной окружностью треугольника.
Пусть h
— высота меньшего шарового сегмента, отсекаемого от шара плоскостью окружности касания шаровой и конической поверхностей. Тогда h=DE
.
Из условия следует, что сферическая поверхность этого сегмента в пять раз меньше поверхности шара, т. е.
2\pi rh=\frac{1}{5}\cdot4\pi r^{2},
откуда OD=h=\frac{2}{5}r
.
Обозначим через \alpha
искомый угол между образующей конуса и плоскостью основания, т. е. \angle SAH=\alpha
. Тогда \angle DOP=\alpha
. Из прямоугольного треугольника DOP
находим, что
\cos\alpha=\frac{DO}{OP}=\frac{OE-DE}{OP}=\frac{r-h}{r}=\frac{r-\frac{2}{5}r}{r}=\frac{3}{5}.
Следовательно, \alpha=\arccos\frac{3}{5}
.