14452. В конус вписан шар. Окружность касания шаровой и конической поверхностей делит объём шара в отношении 5:27
. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Рассмотрим сечение конуса и шара плоскостью осевого сечения — равнобедренный треугольник ASB
с вершиной S
и вписанный в него круг радиуса r
с центром O
. Пусть SH
— высота треугольника ASC
, P
и Q
— точки касания вписанного круга со сторонами SA
и SB
соответственно, D
— точка пересечения отрезков PQ
и SH
, E
— точка пересечения отрезка SD
с вписанной окружностью треугольника.
Пусть h
— высота меньшего шарового сегмента, отсекаемого от шара радиуса r
плоскостью окружности касания шаровой и конической поверхностей. Тогда h=DE
.
Из условия следует, что объём этого сегмента составляет \frac{5}{32}
объёма шара, т. е.
\pi h^{2}\left(r-\frac{1}{3}h\right)=\frac{5}{32}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3},\mbox{или}~8h^{3}-24h^{2}r+5R^{3}=0,
причём h\lt r
. Легко проверить, что h=\frac{r}{2}
— удовлетворяет этому уравнению, и
8h^{3}-24h^{2}r+5R^{3}=(2h-1)(4h^{2}-10hr-5r^{2}).
Остальные два корня h=\frac{r(5+\sqrt{45})}{4}
и h=\frac{r(5-\sqrt{45})}{4}
не удовлетворяют условию задачи, так как первый из них больше r
, а второй отрицательный.
Обозначим через \alpha
искомый угол между образующей конуса и плоскостью основания, т. е. \angle SAH=\alpha
. Тогда \angle DOP=\alpha
. Из прямоугольного треугольника DOP
находим, что
\cos\alpha=\frac{DO}{OP}=\frac{OE-DE}{OP}=\frac{r-h}{r}=\frac{r-\frac{r}{2}}{r}=\frac{1}{2}.
Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.429, с. 245