14453. Основание пирамиды — квадрат. Двугранный углы пирамиды при её основаниях относятся как 1:2:4:2
. Найдите эти углы.
Ответ. 30^{\circ}
, 60^{\circ}
, 120^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Пусть SH=h
— высота данной четырёхугольной пирамиды DABC
, основание которой — квадрат ABCD
со стороной a
, а двугранные углы пирамиды при рёбрах AB
, BC
, CD
и DA
равны соответственно \alpha
, 2\alpha
, 4\alpha
и 2\alpha
.
Опустим перпендикуляры HK
, HL
, HM
и HN
на прямые AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что SKH
, SLH
, SMH
и SNH
— линейные углы этих двугранных углов, поэтому
\angle SKH=\alpha,~\angle SLH=2\alpha,~\angle SMH=4\alpha,~2\angle SNH=\alpha,
причём \alpha\lt\frac{1}{4}\cdot180^{\circ}=45^{\circ}
.
Из прямоугольных треугольников SHK
и SMH
получаем, что
HK=SH\ctg\angle SKH=h\ctg\alpha,~HM=SH\ctg SMH=h\ctg4\alpha.
Поскольку отрезки HK
и HM
перпендикулярны параллельным прямым AB
и CD
, точки M
, H
и K
лежат на одной прямой. Значит,
h\ctg\alpha+h\ctg4\alpha=h(\ctg\alpha+\ctg4\alpha)=a
(при этом второе слагаемое может быть отрицательным). Аналогично,
h(\ctg2\alpha+2\ctg\alpha)=a.
Тогда
\ctg\alpha+\ctg4\alpha=\ctg2\alpha+2\ctg\alpha,~\mbox{или}~\ctg4\alpha-\ctg2\alpha=\ctg2\alpha-\ctg\alpha,~
\frac{\cos4\alpha}{\sin4\alpha}-\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},~-\frac{\sin2\alpha}{\sin4\alpha\sin2\alpha}=-\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha\sin\alpha},~
\frac{1}{\sin4\alpha}=\frac{1}{\sin2\alpha},~\sin4\alpha=\sin2\alpha,~2\sin2\alpha\cos2\alpha=\sin2\alpha,
а так как \sin2\alpha\ne0
, то \cos2\alpha=\frac{1}{2}
. Условию задачи удовлетворяет только 2\alpha=60^{\circ}
. Следовательно, искомые углы равны
30^{\circ},~60^{\circ},~120^{\circ},~60^{\circ}.