14455. Два конуса имеют общую высоту; их вершины лежат на противоположных концах этой высоты. Образующая одного конуса равна
l
и составляет с высотой угол
\alpha
. Образующая другого конуса составляет с высотой угол
\beta
. Найдите объём общей части этих конусов.
Ответ.
\frac{\pi l^{3}\sin^{2}2\alpha\cos\alpha\sin^{2}\beta}{12\sin^{2}(\alpha+\beta)}
.
Решение. Пусть
S
— вершина конуса с высотой
SH
, образующей
l
и углом
\alpha
между высотой и образующей,
H
— вершина конуса с высотой
HS
и углом
\beta
между высотой и образующей. Пусть равнобедренный треугольник
SAB
— осевое сечение первого конуса, а равнобедренный треугольник
HCD
— осевое сечение второго конуса той же плоскостью (см. рис.),
M
— точка пересечения образующих
SA
и
HD
,
M
— точка пересечения образующих
SB
и
HC
,
K
— точка пересечения отрезка
MN
с общей высотой
SH
конусов. Обозначим
HA=HB=r
,
SC=SD=R
,
KM=KN=\rho
. Общая часть конусов — это объединение двух конусов, общее основание которых есть круг радиуса
\rho
, а высоты — отрезки
SK
и
HK
.
Из прямоугольных треугольников
SAH
и
HSD
получаем
SH=SA\cos\angle ASH=l\cos\alpha,~r=AH=SA\sin\angle ASH=l\sin\alpha,

R=SC=SH\tg\angle CHS=l\cos\alpha\tg\beta.

Треугольник
SMC
подобен треугольнику
BMH
с коэффициентом
k=\frac{SM}{MB}=\frac{SC}{HB}=\frac{R}{r}=\frac{l\cos\alpha\tg\beta}{l\sin\alpha}=\frac{\tg\beta}{\tg\alpha}.

Треугольник
SKM
подобен треугольнику
SHB
с коэффициентом
k_{1}=\frac{SM}{SB}=\frac{\tg\beta}{\tg\beta+\tg\alpha}.

Значит,
\rho=KM=k_{1}BH=k_{1}r=\frac{r\tg\beta}{\tg\beta+\tg\alpha}=\frac{l\sin\alpha\tg\beta}{\tg\beta+\tg\alpha}.

Пусть
V
— искомый объём общей части данных конусов;
V_{1}
— объём конуса, основание которого — круг радиуса
\rho
, а высота — отрезок
SK
;
V_{2}
— объём конуса, основание которого — круг радиуса
r
, а высота — отрезок
HK
. Тогда
V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\pi\rho^{2}SK+\frac{1}{3}\pi\rho^{2}HK=\frac{1}{3}\pi\rho^{2}(SK+HK)=

=\frac{1}{3}\pi\rho^{2}SH=\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{l\sin\alpha\tg\beta}{\tg\beta+\tg\alpha}\right)^{2}\cdot l\cos\alpha=\frac{\pi l^{3}\sin^{2}2\alpha\cos\alpha\sin^{2}\beta}{12\sin^{2}(\alpha+\beta)}.

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.443, с. 372