14456. В конус вписан шар. К шару проведена касательная плоскость параллельно плоскости основания конуса. В каком отношении эта плоскость делит боковую поверхность конуса, если угол между образующей и плоскостью основания конуса равен \alpha
.
Ответ. \frac{\sin^{4}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}
.
Решение. Пусть P
— вершина конуса, H
— центр основания, R
— радиус, l
— образующая, O
— центр шара, вписанного в конус, \rho
— радиус шара.
Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара — равнобедренный треугольник PAB
с углом \alpha
при основании, выписанный в него круг и отрезок MN
, параллельный AB
и касающийся круга в некоторой точке K
(точка M
наAB
). Обозначим KM=R_{1}
, PM=l_{1}
, S
— боковая поверхность данного конуса, S_{1}
— боковая поверхность конуса, отсечённого от данного указанной в условии плоскостью.
Из прямоугольного треугольника PHA
получаем
l=PA=\frac{HA}{\cos\angle PAH}=\frac{R}{\cos\alpha},~PH=HA\tg\alpha=R\tg\alpha,
Тогда
S=\pi Rl=\frac{\pi R^{2}}{\cos\alpha}.
Центр круга, вписанного в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
\angle HAO=\frac{\alpha}{2},~\angle KMO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~\angle MOK=\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольных треугольников AHO
и MKO
получаем
\rho=OH=HA\tg\angle HAO=R\tg\frac{\alpha}{2},
R_{1}=KM=OK\tg\angle MOK=\rho\tg\frac{\alpha}{2}=R\tg^{2}\frac{\alpha}{2},
а так как
l'=PM=\frac{KM}{\cos\angle PMK}=\frac{R_{1}}{\cos\alpha}=\frac{R\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha},
то
S_{1}=\pi R_{1}l_{1}=\pi R\tg^{2}\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{R\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}=\frac{\pi R^{2}\tg^{4}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}.
Значит,
\frac{S_{1}}{S}=\frac{\frac{\pi R^{2}\tg^{4}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}}{\frac{\pi R^{2}}{\cos\alpha}}=\tg^{4}\frac{\alpha}{2}.
Следовательно, искомое отношение равно
\frac{S_{1}}{S-S_{1}}=\frac{\tg^{4}\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{4}\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin^{4}\frac{\alpha}{2}}{\cos^{4}\frac{\alpha}{2}-\sin^{4}\frac{\alpha}{2}}=
=\frac{\sin^{4}\frac{\alpha}{2}}{(\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-\sin^{2}\frac{\alpha}{2})(\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+\sin^{2}\frac{\alpha}{2})}=\frac{\sin^{4}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}.