14459. В треугольной пирамиде все грани — правильные треугольники. Через сторону основания проведена плоскость, делящая объём пирамиды в отношении 1:3
, считая от основания. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания.
Ответ. \arctg\frac{\sqrt{2}}{5}
.
Решение. Пусть ABCD
— данная треугольная пирамида с основанием ABC
. Поскольку все её грани — правильные треугольники, это правильный тетраэдр. Пусть H
— центр грани ABC
, M
— середина ребра BC
, K
— точка пересечения секущей плоскости с ребром AD
, E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки K
на прямую AM
. Тогда прямая KE
параллельна высоте DH
пирамиды ABCD
, поэтому KE
— высота пирамиды ABCK
.
Объём этой пирамиды составляет четверть объёма пирамиды ABCD
, а так как у этих пирамид общее основание, то их высоты KE
и DH
относятся как 1:4
. Из подобия треугольников AKE
и ADH
получаем
\frac{AE}{AH}=\frac{AK}{AD}=\frac{KE}{DH}=\frac{1}{4},
а так как AH=\frac{2}{3}AM
, то
AE=\frac{1}{4}AH=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}AM=\frac{1}{6}AM,
EM=AM-AE=\frac{5}{6}AM,~KE=\frac{1}{4}DH.
Пусть все рёбра пирамиды ABCD
равны a
. Тогда
AM=\frac{a\sqrt{3}}{2},~EM=\frac{5}{6}AM=\frac{5}{6}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{5a\sqrt{3}}{12},
DH=a\sqrt{\frac{2}{3}},~KE=\frac{1}{4}DH=\frac{1}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}}.
Плоскость ADM
перпендикулярна прямой BC
, поэтому AMD
— линейный угол двугранного угла при ребре BC
пирамиды ABCK
. Обозначим его через \alpha
. Из прямоугольного треугольника KEM
находим, что
\tg\alpha=\frac{KE}{EM}=\frac{\frac{1}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{5a\sqrt{3}}{12}}=\frac{\sqrt{2}}{5}.
Следовательно, \alpha=\arctg\frac{\sqrt{2}}{5}
.