14462. Основание наклонной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— равнобедренный треугольник, у которого AB=AC=a
и \angle CAB=\alpha
. Вершина B_{1}
верхнего основания равноудалена от всех сторон нижнего, а ребро BB_{1}
образует с плоскостью основания угол \beta
. Найдите объём призмы.
Ответ. \frac{a^{3}\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\tg\beta}{2\cos\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)}
.
Решение. Пусть B_{1}O
— высота призмы. Точка B_{1}
равноудалена от отрезков AB
, AC
и BC
, т. е. равны перпендикуляры, опущенные из точки B_{1}
на эти отрезки. Тогда равны и ортогональные проекции этих перпендикуляров на плоскость ABC
. Тогда точка O
равноудалена от сторон треугольника ABC
и лежит внутри этого треугольника. Следовательно, O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
.
Пусть M
— середина основания BC
равнобедренного треугольника ABC
. Тогда AM
— высота и биссектриса треугольника, а так как BI
— биссектриса угла ABM
, то из прямоугольных треугольников AMB
и OMB
находим, что
BM=AB\sin\angle BAM=a\sin\frac{\alpha}{2},~OB=\frac{BM}{\cos\angle MOB}=\frac{a\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)}.
Угол бокового ребра BB_{1}
с плоскостью ABC
— это угол OBB_{1}
. Из прямоугольного треугольника BOB_{1}
находим высоту B_{1}O
призмы:
B_{1}O=OB\tg\angle BOB_{1}=\frac{a\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)}\cdot\tg\beta=\frac{a\sin\frac{\alpha}{2}\tg\beta}{\cos\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)}.
Следовательно,
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}\cdot B_{1}O=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle BAC\cdot B_{1}O=
=\frac{1}{2}a^{2}\sin\alpha\cdot\frac{a\sin\frac{\alpha}{2}\tg\beta}{\cos\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)}=\frac{a^{3}\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\tg\beta}{2\cos\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.293, с. 234