14463. Рёбра прямоугольного параллелепипеда относятся как 3:4:12
. Через большее ребро проведено диагональное сечение. Найдите синус угла между плоскостью этого сечения и не лежащей в ней диагональю параллелепипеда.
Ответ. \frac{24}{65}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данный параллелепипед; AB=3a
, AD=4a
, AA_{1}=12a
; угол между его диагональю BD
и плоскостью сечения AA_{1}C_{1}C
равен \alpha
; E
и E_{1}
— центры граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно; O
— точка пересечения отрезков EE_{1}
и BD
, т. е. центр параллелепипеда.
Опустим перпендикуляр BH
на диагональ AC
грани ABCD
. Прямая BH
перпендикулярна пересекающимся прямым AC
и AA_{1}
секущей плоскости, значит, BH
— перпендикуляр к этой плоскости. Тогда HO
— ортогональная проекция наклонной BO
на эту плоскость, поэтому \angle BOH=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника ABC
получаем
BH=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{AB\cdot BC}{\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}}=\frac{3a\cdot4a}{5a}=\frac{12}{5}a,
а так как
BO=\frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}+BC^{2}+AA_{1}^{2}}=\sqrt{9a^{2}+16a^{2}+144a^{2}}=\frac{13}{2}a,
то из прямоугольного треугольника BOH
находим, что
\sin\alpha=\sin\angle BOH=\frac{BH}{BO}=\frac{\frac{12}{5}a}{\frac{13}{2}a}=\frac{24}{65}.