14464. Найдите плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды, если он равен углу между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}
.
Решение. Пусть H
— центр основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды с вершиной S
. Тогда SH
— высота пирамиды. Обозначим через a
сторону квадрата ABCD
, а \alpha
— искомый угол. По условию
\angle ASB=\angle SAH=\alpha.
Пусть M
— середина ребра AB
. Из прямоугольных треугольников AHS
и AMS
получаем
SA=\frac{AH}{\cos\angle SAH}=\frac{a\sqrt{2}}{2\cos\alpha},~SA=\frac{AM}{\sin\angle ASM}=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.
Значит,
\frac{a\sqrt{2}}{2\cos\alpha}=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}},~\mbox{или}~\cos\alpha=\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}.
После возведения в квадрат обеих частей этого уравнения (они положительны, так как \alpha\lt90^{\circ}
) получим уравнение
\cos^{2}\alpha=2\sin^{2}\frac{\alpha}{2},~\mbox{или}~\cos^{2}\alpha-\cos\alpha-1=0,
откуда \cos\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
. Следовательно, \alpha=\arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}
.