14469. Основание наклонной призмы — прямоугольник со сторонами a
и b
. Две смежные боковые грани наклонены к плоскости основания под углами \alpha
и \beta
. Найдите объём призмы, если её боковое ребро равно c
.
Ответ. \frac{abc}{\sqrt{\ctg^{2}\alpha+\ctg^{2}\beta+1}}
.
Решение. Пусть A_{1}H=h
— высота данного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, HM
и HN
— перпендикуляры к прямым AB
и AD
, содержащим стороны прямоугольника ABCD
(AB=a
, AD=b
). По теореме о трёх перпендикулярах A_{1}M\perp AB
и A_{1}N\perp AD
, поэтому HMA_{1}
и HNA_{1}
— линейные углы двугранных углов параллелепипеда при рёбрах AB
и AD
соответственно. По условию \angle HMA_{1}=\alpha
и \angle HNA_{1}=\beta
.
Из прямоугольных треугольников MHA_{1}
, NHA_{1}
, AMH
и AHA_{1}
находим, что
HM=A_{1}H\ctg\angle HMA_{1}=h\ctg\alpha,~HN=A_{1}H\ctg\angle HNA_{1}=h\ctg\beta,
AH^{2}=HM^{2}+AM^{2}=HM^{2}+HN^{2}=h^{2}\ctg^{2}\alpha+h^{2}\ctg^{2}\beta,
AH^{2}+A_{1}H^{2}=AA_{1}^{2},~\mbox{или}~h^{2}\ctg^{2}\alpha+h^{2}\ctg^{2}\beta+h^{2}=c^{2},
откуда
h=\frac{c}{\sqrt{\ctg^{2}\alpha+\ctg^{2}\beta+1}}
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=abh=\frac{abc}{\sqrt{\ctg^{2}\alpha+\ctg^{2}\beta+1}}.