14470. Высота конуса равна h
, угол между образующей и плоскостью основания равен \alpha
. В конус вписан шар. К окружности касания шаровой и конической поверхностей проведена касательная прямая, а через эту прямую проведена плоскость параллельно высоте конуса. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.
Ответ. \frac{\pi h^{2}\cos^{4}\alpha}{4\cos^{4}\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Пусть S
— вершина конуса, SH
— его высота, O
— центр вписанного в конус шара. Проведём плоскость через прямую SH
. Получим осевое сечение конуса, т. е. равнобедренный треугольник ASB
с углом \alpha
при основании и вписанный в него круг с центром O
на высоте SH
, касающийся боковых сторон SA
и SB
в точках M
и N
соответственно.
Обозначим через r
радиус этого круга, а через \rho
— радиус круга, полученного в пересечении вписанного шара плоскостью, о которой говорится в условии. Если эта плоскость проходит через точку M
, то хорда MK
этого круга, параллельная высоте SH
, есть его диаметр.
В прямоугольном треугольнике OMS
со сторонами
OM=r,~SO=SH-OH=h-r
острый угол при вершине O
равен \alpha
, поэтому
MO=SO\cos\angle MOS,~\mbox{или}~r=(h-r)\cos\alpha,
откуда
r=\frac{h\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{h\cos\alpha}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}.
Пусть L
— точка пересечения SH
и MN
, Q
— середина отрезка MK
, т. е. центр круга радиуса \rho
. Тогда
\rho=MQ=LO=OM\cos\angle LOM=r\cos\alpha=\frac{h\cos^{2}\alpha}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}.
Следовательно, если s
— искомая площадь сечения, то
s=\pi\rho^{2}=\pi\cdot\left(\frac{h\cos^{2}\alpha}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\right)^{2}=\frac{\pi h^{2}\cos^{4}\alpha}{4\cos^{4}\frac{\alpha}{2}}.