14472. В шаровой сектор радиуса R
вписан шар. Найдите радиус окружности касания поверхностей шара и сектора, если центральный угол сектора равен \alpha
.
Ответ. \frac{R\sin\alpha}{2(1+\sin\alpha)}=\frac{R\sin\alpha}{4\cos^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)}
.
Решение. Рассмотрим сечение шарового сектора и шара плоскостью, проходящей через вершину S
сектора и центр O
вписанного в него шара, — круговой сектор ASB
с углом ASB
, равным \alpha
, и вписанный в него круг, касающийся радиусов сектора SA=SB=R
в точках M
и N
соответственно.
Пусть K
— точка пересечения отрезков SO
и MN
, продолжение отрезка SO
за точку O
пересекает дугу сектора в точке C
, радиус шара равен r
, искомый радиус равен \rho
, т. е. KM=\rho
.
Из прямоугольного треугольника OMS
находим, что
SO=\frac{OM}{\sin\angle OSM}=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}.
Тогда
R=SC=SO+OC=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}+r=\frac{r\left(1+\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}},
откуда r=\frac{R\sin\frac{\alpha}{2}}{(1+\sin\alpha)}
.
В прямоугольном треугольнике OKM
гипотенуза OM=r
, а острый угол OMK
равен \frac{\alpha}{2}
. Следовательно,
\rho=KM=OM\cos\angle OMK=r\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{R\sin\frac{\alpha}{2}}{(1+\sin\alpha)}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}=
=\frac{R\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{(1+\sin\alpha)}=\frac{R\sin\alpha}{2(1+\sin\alpha)}=\frac{R\sin\alpha}{4\cos^{2}\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.390, с. 243