1448. Через точку O
, взятую на стороне правильного треугольника ABC
, проведены прямые, параллельные сторонам AB
и AC
, и пересекающие стороны AC
и AB
в точках K
и L
соответственно. Окружность, проходящая через точки O
, K
и L
пересекает стороны AC
и AB
соответственно в точках Q
и P
, отличных от K
и L
. Докажите, что треугольник OPQ
— равносторонний.
Указание. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Решение. Поскольку дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, меньшая дуга OQ
равна меньшей дуге LK
, поэтому
\angle OPQ=\angle LOK=60^{\circ}.
Из равенства меньших дуг PK
и OL
следует равенство меньших дуг OP
и KL
, поэтому
\angle OQP=\angle LOK=60^{\circ}.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 76, с. 37