14489. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, высота которой равна h
, а угол между плоскостью основания и боковым ребром равен \alpha
.
Ответ. \frac{h(\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha}-1)}{4\tg^{2}\alpha}
.
Решение. Пусть DH=h
— высота правильной треугольной пирамиды ABCD
, а угол бокового ребра с плоскостью основания ABC
равен \alpha
, т. е. \angle DAH=\alpha
. Обозначим через a
сторону основания пирамиды, r
— искомый радиус шара с центром O
, вписанного в пирамиду.
Пусть M
— середина ребра BC
. Рассмотрим сечение пирамиды и шара плоскостью ADM
— треугольник ADM
и круг радиуса r
с центром O
на отрезке DH
, вписанный в угол AMD
и касающийся стороны AM
в точке H
. Обозначим \angle DMH=\beta
.
Из прямоугольных треугольников AHD
и MHD
получаем
DH=AH\tg\alpha=\frac{a\tg\alpha}{\sqrt{3}},~DH=MH\tg\beta=\frac{a\tg\alpha}{2\sqrt{3}},
откуда
\tg\beta=2\tg\alpha,~\frac{a}{\sqrt{3}}=AH=DH\ctg\alpha=\frac{h}{\tg\alpha}.
Из формулы \tg\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}
получаем уравнение
\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}=2\tg\alpha,~\mbox{или}~\tg^{2}\frac{\beta}{2}\cdot\tg\alpha+\tg\frac{\beta}{2}-\tg\alpha=0,
из которого находим, что
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha}-1}{2\tg\alpha}.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, следовательно,
r=OH=MH\tg\frac{\beta}{2}=\frac{a}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha}-1}{2\tg\alpha}=
=\frac{h}{2\tg\alpha}\cdot\frac{\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha}-1}{2\tg\alpha}=\frac{h(\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha}-1)}{4\tg^{2}\alpha}.